Элейская школа довольно интересна для исследования, так как это одна из древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно тесно и разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы считают Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до н.э.).

Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные системы миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) Есть только бытие, небытия нет; 2) Существует не только бытие, но и небытие; 3) Бытие и небытие тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку. Согласно ему, бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе, только оно истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть - все это удел мнимого.

С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик Зенон. Древние приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего (против множественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (против движения) . Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все времена пользовались зеноновы доказательства против движения; например, "движения не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде дойти до половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти половину этой половины и т.д."

Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения "здравого смысла", выводам, но их нельзя было просто отбросить как несостоятельные, поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим стандартам той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от заключений к посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за основу своей концепции.

О жизни и деятельности Сократа - одного из величайших философов Древней Греции - можно узнать лишь по произведениям его современников и учеников, в первую очередь Платона, потому что сам Сократ письменных источников после себя не оставил. Платон же познакомился с Сократом за восемь лет до гибели последнего, когда Сократу было уже за шестьдесят, и встреча эта произвела революцию в душе будущего знаменитого философа. Платон же написал и "Апологию Сократа", из которой можно узнать о некоторых аспектах сократовской философии. "Апология Сократа" представляет собою оправдательную речь Сократа, произнесенную им на афинском суде в 399 году до н.э., после того, как были заслушаны речи обвинителей. Надо заметить, что это художественное воспроизведение речи Платоном, и с точки зрения именно художественности она заслуживает высокой оценки. Композиция включает в себя:

1. Речь после обвинения, предшествующая приговору. В ней Сократ критикует прежних и новых обвинителей за клевету и дает самому себе общую характеристику. Он говорит, что не боится смерти, а боится лишь малодушия и позора; что будет всегда заниматься философией; что убийство его будет страшно для судей, потому что после смерти Сократа вряд ли найдется человек, который будет заставлять их стремиться к истине. Философ говорит также, что внутренний голос препятствует ему принимать участие в общественных делах, которые полны несправедливости. Он утверждает, что никого ничему не учил, а только не препятствовал задавать вопросы и отвечать на них - это было поручено Сократу богом, и нет свидетелей, которые утверждали бы, что Сократ говорил дурное и развращающее.

Сочинения Платона (427-347 гг. до н.э.) - уникальное явление в отношении выделения философской концепции. Это высокохудожественное, захватывающее описание самого процесса становления концепции, с сомнениями и неуверенностью, подчас с безрезультатными попытками разрешения поставленного вопроса, с возвратом к исходному пункту, многочисленными повторениями и т.п. Выделить в творчестве Платона какой-либо аспект и систематически изложить его довольно сложно, так как приходится реконструировать мысли Платона из отдельных высказываний, которые настолько динамичны, что в процессе эволюции мысли порой превращаются в свою противоположность.

Платон неоднократно высказывал свое отношение к математике и она всегда оценивалась им очень высоко: без математических знаний "человек с любыми природными свойствами не станет блаженным", в своем идеальном государстве он предполагал "утвердить законом и убедить тех, которые намереваются занять в городе высокие должности, чтобы они упражнялись в науке счисления". Систематическое широкое использование математического материала имеет место у Платона, начиная с диалога "Менон", где Платон подводит к основному выводу с помощью геометрического доказательства. Именно вывод этого диалога о том, что познание есть припоминание, стал основополагающим принципом платоновской гносеологии.

Значительно в большей мере, чем в гносеологии, влияние математики обнаруживается в онтологии Платона. Проблема строения материальной действительности у Платона получила такую трактовку: мир вещей, воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего; вещи непрерывно возникают и погибают. Истинным бытием обладает мир идей, которые бестелесны, нечувственны и выступают по отношению к вещам как их причины и образы, по которым эти вещи создаются.

На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н.э. и прошел в своем развитии ряд этапов. Вопрос о их временной длительности сложен и до сих пор не решен однозначно. Основоположником школы был Пифагор Самосский (ок. 580-500 до н.э.) . Ни одна строка, написанная Пифагором, не сохранилась; вообще неизвестно, прибегал ли он к письменной передаче своих мыслей. Что было сделано самим Пифагором, а что его учениками, установить очень трудно. Свидетельства о нем древнегреческих авторов противоречивы; в какой-то мере различные оценки его деятельности отражают многообразие его учения.

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую ("пифагорейский образ жизни") и теоретическую (определенная совокупность учений) . В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душевное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души.

Демокрит - годы жизни - ок. 460-370 гг. до н.э. Родом из Абдер, считавшихся в Греции не только глухой интеллектуальной провинцией, но даже просто городом глупцов. Но нарицательное "абдерит" - простак, простофиля, глупец - стало собственным именем одного из величайших мыслителей... По преданию, Д. "был учеником каких-то магов и халдеев, которых царь Ксеркс предоставил его отцу в качестве учителей, когда у него гостил... у них-то он ещё в детстве перенял науку о богах и звездах. Потом он перешел к Левкиппу.

Существуют сведения, что он совершил путешествие в Египет, Персию и даже Эфиопию и Индию. Вернувшись из путешествия, он вел скромный и уединенный образ жизни, занимаясь наукой и ценя её так высоко, что, как говорят, "сказал, что он предпочел бы одно приличное объяснение сану персидского царя". Завистники обвинили его в том, что он вопреки абдерским законам, растратил доставшееся ему наследство; в ответ он "прочитал народу свой "Большой Мирострой", лучшее из всех его сочинений, и получил за него в награду пятьсот талантов; мало того, в честь его воздвигли медные статуи, а когда он умер, то погребли его на государственный счет, - а жил он более ста лет".

Многочисленные свидетельства и легенды говорят о Д. как о "смеющемся философе", "настолько несерьезным казалось ему все, что делалось всерьез". Рассказы о нем свидетельствуют о глубокой житейской мудрости философа, о его наблюдательности, обширных познаниях. Диоген Лаэрций приводит список, состоящий из более чем 60 произведений Д., главное место среди которых занимают "Великий диакосмос", "Малый диакосмос", "О логике, или Мерило". От сочинений Абдерита сохранились лишь фрагменты, перемешанные с фрагментами и пересказами Левкиппа в почти неразличимое целое.

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия, выявленные Зеноном?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности; бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практически упраздняется теоретическая математика.

Значительно сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочинений, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства, техники и другие.

Философия древней Греции Греческая философия в VII - VI веках до н.э. и явилась по сути своей первой попыткой рационального постижения окружающего мира.

В развитии философии древней Греции выделяют четыре основных этапа: I VII-V века до н.э. - досократовская философия II V-IV века до н.э. - классический этап Выдающиеся философы классического этапа: Сократ, Платон, Аристотель. В общественной жизни этот этап характеризуется как высший подъем афинской демократии III IV-II века до н.э. - эллинистический этап.

(Упадок Греческих городов и установление господства Македонии) IV I век до н.э. - V, VI века н.э. - Римская философия.

Греческая культура VII - V вв. до н.э. - это культура общества, в котором ведущая роль принадлежит рабскому труду, хотя в отдельных отраслях, требовавших высокой квалификации производителей, как, например, художественное ремесло, широко применялся свободный труд.

МИРОВОЗЗРЕНИЕ
Мировоззрение широких масс греческого общества рассматриваемого периода в основном сохранило те представления, которые имели место еще во втором тысячелетии до н.э. Природа по-прежнему представлялась греку населенной и управляемой различными существами, о которых народная фантазия слагала красочные поэтические мифы. Эти существа в основном можно объединить в три цикла: верховные олимпийские боги-небожители с Зевсом во главе, многочисленные второстепенные божества гор, лесов, ручьев и т.п. и, наконец, герои-родоначальники, покровители общины.

Аргументы Зенона вскрыли внутренние противоречия, которые имели место в сложившихся математических теориях. Тем самым факт существования математики был поставлен под сомнение. Какими же путями разрешались противоречия, выявленные Зеноном?

Простейшим выходом из создавшегося положения бал отказ от абстракций в пользу того, что можно непосредственно проверить с помощью ощущений. Такую позицию занял софист Протагор. Он считал, что "мы не можем представить себе ничего прямого или круглого в том смысле, как представляет эти термины геометрия; в самом деле, круг касается прямой не в одной точке". Таким образом, из математики следует убрать как ирреальные: представления о бесконечном числе вещей, так как никто не может считать до бесконечности; бесконечную делимость, поскольку она неосуществима практически и т.д. Таким путем математику можно сделать неуязвимой для рассуждений Зенона, но при этом практически упраздняется теоретическая математика. Значительно сложнее было построить систему фундаментальных положений математики, в которой бы выявленные Зеноном противоречия не имели бы места. Эту задачу решил Демокрит, разработав концепцию математического атомизма.

Демокрит бал, по мнению Маркса, "первым энциклопедическим умом среди греков". Диоген Лаерций (III в. н.э.) называет 7О его сочинений, в которых были освещены вопросы философии, логики, математики, космологии, физики, биологии, общественной жизни, психологии, этики, педагогики, филологии, искусства, техники и другие. Аристотель писал о нем: "Вообще, кроме поверхностных изысканий, никто ничего не установил, исключая Демокрита. Что же касается его, то получается такое впечатление, что он предусмотрел все, да и в методе вычислений он выгодно отличается от других".

Аристотель родился в 384г. д. н.э. в греческом городе Стагире. Глубокое провинциальное происхождение Аристотеля компенсировалось тем, что он был сыном известного врача Никомаха. Быть врачом означало в Древней Греции занимать большое общественное положение, и Никомах был известен всей Македонии.

Аристотель, по словам очевидцев, с молодости был невзрачного вида. Худощавый, имел худые ноги, маленькие глазки и шепелявил. Но зато любил одеться, носил по несколько дорогих перстней и делал необычную прическу. Воспитываясь в семье врача, и поэтому сам занимаясь медициной, Аристотель, однако, не стал профессиональным врачом. Но медицина осталась для него на всю жизнь настолько родной и понятной областью, что впоследствии в своих труднейших философских трактатах он дает пояснения на примерах из медицинской практики. Приехав с севера Греции, Аристотель в самом раннем возрасте (в 17лет) вошел в школу Платона. Он был сперва принципиальным платоником, а впоследствии отошел от строгого платонизма. Первые сочинения Аристотеля в стенах Платоновской Академии, куда он поступает, отличаются склонностью его к риторике, которой он впоследствии прозанимался всю жизнь. В 364 году до н.э.

Аристотель встречается с Платоном, и они общались до самой смерти Платона, т.е. в течении 17 лет. Аристотель представлялся Платону ретивым конем, которого приходится сдерживать уздой. Некоторые античные источники прямо говорят не только о расхождении, но и даже о неприязни между двумя философами. Платон сильно не одобрял свойственной Аристотелю манеры держать себя и одеваться. Аристотель придавал большое внимание своему внешнему виду, а Платон считал, что это неприемлемо истинному философу.

К. Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. до н.э.) "величайшим философом древности". Основные вопросы философии, логики, психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однако важнейшие стороны математического познания были подвергнуты им глубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколений математиков.

Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошла значительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философского анализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимости упорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленной разработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела: "образованность" и "научное знание дела". Среди известных сочинений Аристотеля нет специально посвященных изложению методологических проблем математики. Но по отдельным высказываниям, по использованию математического материала в качестве иллюстраций общих методологических положений можно составить представление о том, каков был его идеал построения системы математических знаний.